Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Вниз   Решение


Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырехугольнике ABCD существуют три внутренние точки  P1, P2, P3, не лежащие на одной прямой и обладающие тем свойством, что сумма площадей треугольников ABPi и CDPi равна сумме площадей треугольников BCPi и ADPi для i = 1, 2, 3. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

ВверхВниз   Решение


α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) = (p - a)/4R;
б)  sin($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) = ra/4R.

ВверхВниз   Решение


Даны две пересекающиеся окружности радиуса R, причем расстояние между их центрами больше R. Докажите, что  β = 3α (рис.).


ВверхВниз   Решение


а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d )- abcd cos2((B + D)/2),

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то  S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то  S2 = abcd sin2((B + D)/2).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если  $ {\frac{1}{b}}$ + $ {\frac{1}{c}}$ = $ {\frac{1}{l_a}}$, то  $ \angle$A = 120o.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH. Прямые, проведенные через произвольную точку P плоскости перпендикулярно CA, CM и CB, пересекают прямую CH в точках A1, M1 и B1. Докажите, что A1M1 = B1M1.

ВверхВниз   Решение


Точки A и B лежат на прямых a и b соответственно, а точка P не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через P прямую, пересекающую прямые a и b в точках X и Y соответственно таких, что длины отрезков AX и BY имеют а) данное отношение; б) данное произведение.

ВверхВниз   Решение


Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему о полном четырехстороннике (задача 30.34).

ВверхВниз   Решение


Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что  SAOB = SCOD тогда и только тогда, когда  BC || AD.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.

ВверхВниз   Решение


На стороне AB четырехугольника ABCD взята точка M1. Пусть M2 — проекция M1 на прямую BC из D, M3 — проекция M2 на CD из A, M4 — проекция M3 на DA из B, M5 — проекция M4 на AB из C и т. д. Докажите, что M13 = M1 (а значит, M14 = M2, M15 = M3 и т. д.).

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. В области, ограниченной отрезками AB, AC и меньшей дугой BC, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает AB.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при помощи одной линейки нельзя разделить данный отрезок пополам.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 2]      



Задача 58466

Тема:   [ Невозможность построений при помощи одной линейки ]
Сложность: 7
Классы: 10,11

Докажите, что при помощи одной линейки нельзя разделить данный отрезок пополам.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58467

Тема:   [ Невозможность построений при помощи одной линейки ]
Сложность: 7
Классы: 10,11

На плоскости дана окружность. Докажите, что при помощи одной линейки нельзя построить ее центр.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 2]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .