Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 55]

Задача 60754 (#04.128)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Произведения и факториалы	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Докажите, что для простого числа p вида 4k + 1 числа x = ± (2k)! являются решениями сравнения x² + 1 ≡ 0 (mod p).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60755 (#04.129)

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пользуясь результатом задачи 60579, найдите остатки, которые при простом p дают числа F_p и F_p+1 при делении на p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60756 (#04.130)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 3.
а) Докажите, что если разрешимо сравнение x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 6).
б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 6k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60757 (#04.131)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 5. Докажите, что если разрешимо сравнение x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 5n + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60758 (#04.132)

Тема:

[

Функция Эйлера

]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Функция Эйлера φ(n) определяется как количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n. Найдите a) φ(17); б) φ(p); в) φ(p²); г) φ(p^α).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 55]