Версия для печати
Убрать все задачи

---

Для каждого натурального  n > 1  существует такое число c_n, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа  x + ^π/_n,  синуса числа
x + ^2π/_n,  ..., наконец, синуса числа  x + ^{(n – 1)π}/_n  равно произведению числа c_n на синус числа nx. Докажите это и найдите величину c_n.

   Решение

---

В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми?

   Решение

---

Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?

   Решение

---

Биссектрисы $AI$ и $CI$ пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_1$, $C_1$ соответственно. Описанная окружность треугольника $AIC_1$ пересекает сторону $AB$ в точке $C_0$; аналогично определим $A_0$. Докажите, что точки $A_0,$ $A_1$, $C_0$, $C_1$ лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67334  (#1 [8 кл])

Тема:   [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Биссектрисы $AI$ и $CI$ пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_1$, $C_1$ соответственно. Описанная окружность треугольника $AIC_1$ пересекает сторону $AB$ в точке $C_0$; аналогично определим $A_0$. Докажите, что точки $A_0,$ $A_1$, $C_0$, $C_1$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67335  (#2 [8 кл])

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Даны три попарно различные точки на прямой. Сколько существует равнобедренных треугольников, в которых они являются (в каком-нибудь порядке) центрами описанной, вписанной и вневписанной окружностей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67336  (#3 [8 кл])

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина меньшей дуги $BC$ описанной окружности. Окружность $\omega$ касается сторон $AB$, $AC$ в точках $P$, $Q$ соответственно и проходит через точку $M$. Докажите,что $BP+CQ=PQ$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67337  (#4 [8 кл])

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, $P$ – произвольная точка этой окружности. Прямая $AP$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $AB_1C_1$ в точке $A_2$. Аналогично строятся точки $B_2$ и $C_2$. Докажите, что описанная около треугольника $A_2B_2C_2$ окружность касается $\omega$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67338  (#5 [8 кл])

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Точки $A'$, $B'$, $C'$ соответственно симметричны вершинам $A$, $B$, $C$ относительно противоположных сторон треугольника $ABC$. Докажите, что окружности $AB'C'$, $A'BC'$ и $A'B'C$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями