Каталог по источникам

Выбрано 3 задачи

На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.

Решение

Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x₁, x₂ из [a;b] и любых положительных $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ таких, что $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ = 1 выполняется неравенство:

f $\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$ $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ x₂ $\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ f (x₁) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ f (x₂).

Решение

У числа 2¹⁹⁷⁰ зачеркнули его первую цифру и прибавили её к оставшемуся числу. С результатом проделали ту же операцию и т.д., до тех пор пока не получили десятизначное число. Доказать, что в этом числе есть две одинаковые цифры.

Решение

Задача 78742