Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 55]

Задача 60759 (#04.133)

Тема:

[

Функция Эйлера

]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Чему равна сумма φ(1) + φ(p) + φ(p²) + ... + φ(p^α), где α #8211; некоторое натуральное число?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60760 (#04.134)

Темы:	[	Функция Эйлера	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Функция Эйлера φ(n) определяется как количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n.
Основным свойством функции Эйлера является её мультипликативность.
Для взаимно простых a и b рассмотрим таблицу

В каких столбцах этой таблицы находятся числа взаимно простые с числом b?
Сколько в каждом из этих столбцов чисел взаимно простых с a?
Докажите мультипликативность функции Эйлера, ответив на эти вопросы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60761 (#04.135)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Функция Эйлера	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Сколько классов составляют приведённую систему вычетов по модулю m?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60762 (#04.136)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пусть числа x₁, x₂, ..., x_r образуют приведённую систему вычетов по модулю m.
Для каких a и b числа y_j = ax_j + b (j = 1, ..., r) также образуют приведённую систему вычетов по модулю m?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60763 (#04.137)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Функция Эйлера	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть (m, n) = 1, а числа x и y пробегают приведённые системы вычетов по модулям m и n соответственно. Докажите, что число A = xn + ym пробегает при этом приведённую систему вычетов по модулю mn. Выведите отсюда мультипликативность функции Эйлера (см. задачу 60760).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 55]