Каталог по темам

Выбрано 12 задач

Обязательно ли равны два равнобедренных треугольника, у которых равны боковые стороны и радиусы вписанных окружностей?

а) Докажите, что центр масс существует и единствен для любой системы точек.
б) Докажите, что если X — произвольная точка, а O — центр масс точек X₁,..., X_n с массами m₁,..., m_n, то $\overrightarrow{XO}$ = ${\frac{1}{m_1+\ldots+m_n}}$ (m₁ $\overrightarrow{XX_1}$ +...+ m_n $\overrightarrow{XX_n}$ ).

Решение

Пусть a_n – число решений уравнения x₁ + ... + x_k = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Решение

В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный; 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?

Решение

Каждая из двух сторон треугольника разделена на семь равных частей; соответствующие точки деления соединены отрезками.
Найдите эти отрезки, если третья сторона треугольника равна 28.

Решение

Автор: Анджанс А.

В соревновании участвуют 16 боксёров. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 10 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Решение

Встречается ли в треугольнике Паскаля число 1999?

Решение

Около данного круга опишите равнобедренный прямоугольный треугольник.

Решение

В треугольнике ABC угол A равен 40°. Треугольник случайным образом бросают на стол.
Найдите вероятность того, что вершина A окажется восточнее двух других вершин.

Решение

Докажите, что при a, b, c > 0 имеет место неравенство

Решение

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

Решение

Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее "Спортпрогноз"? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа одной из команд либо ничья; счёт роли не играет).

Решение

Задача 30320

Задача 30321

Задача 30322

Задача 30324

Задача 30346