Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждое ли целое число можно записать как сумму кубов нескольких целых чисел, среди которых нет одинаковых?

   Решение

---

В трёх клетках таблицы 3×3 стоят числа (см. рисунок). Требуется заполнить числами остальные клетки так, чтобы во всех строках, столбцах и главных диагоналях суммы чисел оказались равными. Докажите, что это можно сделать единственным способом, и заполните таблицу.

   Решение

---

Докажите, что уравнение  Azz + Bz – B z + C = 0  при отображениях  w = z + u  и  w = ^R/_z  переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений (см. задачу 61183).

   Решение

---

Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок  [0, 1]  разбит на  p + q  одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из  p + q – 2  чисел  ¹/_p, ²/_p, ..., ^p–1/_p,  ¹/_q, ²/_q, ..., ^q–1/_q.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 78]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110226

Темы:   [ Взвешивания ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

При изготовлении партии из  N ≥ 5  монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60485

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок  [0, 1]  разбит на  p + q  одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из  p + q – 2  чисел  ¹/_p, ²/_p, ..., ^p–1/_p,  ¹/_q, ²/_q, ..., ^q–1/_q.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98526

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98574

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Верно ли, что на графике функции  y = x³  можно отметить такую точку A, а на графике функции  y = x³ + |x| + 1  – такую точку B, что расстояние AB не превысит ¹/₁₀₀?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105139

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что на графике функции  y = x³ можно отметить такую точку A, а на графике функции  y = x³ + |x| + 1  – такую точку B, что расстояние AB не превышает ¹/₁₀₀.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 78]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями