Информация о задаче

Задача 108565

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его высот, делённого на синус угла между сторонами, на которые эти высоты опущены, т.е.

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{h_{a}h_{b}}{\sin \gamma}}$ ,

где h_a и h_b — высоты, опущенные на стороны, равные a и b, а $\gamma$ угол между этими сторонами.

Решение

Пусть AM = h_a и BN = h_b — высоты треугольника ABC, BC = a и AC = b — стороны треугольника, $\angle$ ACB = $\gamma$ . Из прямоугольных треугольников BNC и AMC находим, что

a = BC = $\displaystyle {\frac{BN}{\sin \gamma}}$ = $\displaystyle {\frac{h_{b}}{\sin \gamma}}$ , b = AC = $\displaystyle {\frac{AM}{\sin \gamma}}$ = $\displaystyle {\frac{h_{a}}{\sin \gamma}}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{h_{a}}{\sin \gamma}}$ ^. $\displaystyle {\frac{h_{b}}{\sin \gamma}}$ ^.sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{h_{a}h_{b}}{\sin \gamma}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4256