Информация о задаче

Задача 57435

Тема:

[

Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что rr_c $\leq$ c²/4.

Решение

Так как r(ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ ) = c = r_c(tg $\alpha$ + tg $\beta$ ), то

c² = rr_c $\displaystyle \left(\vphantom{2+\frac{{\rm tg}\alpha }{{\rm tg}\beta }+\frac{{\rm tg}\beta }{{\rm tg}\alpha }}\right.$ 2 + $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\alpha }{{\rm tg}\beta }}$ + $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta }{{\rm tg}\alpha }}$ $\displaystyle \left.\vphantom{2+\frac{{\rm tg}\alpha }{{\rm tg}\beta }+\frac{{\rm tg}\beta }{{\rm tg}\alpha }}\right)$ $\displaystyle \geq$ 4rr_c.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	5
Название	Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей
Тема	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями
задача
Номер	10.025