Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля N.
б) Пусть N — точка Нагеля, M — центр масс, I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что = 2; в частности точка N лежит на прямой MI.

   Решение

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

Решение

Трижды отразим прямоугольник ABCD с вписанным в него четырёхугольником KLMN (см. рис.).

Легко видеть, что периметр четырёхугольника равен длине ломаной KLM₁N₁, которая не меньше длины отрезка KN₁. Этот отрезок равен отрезку AA₁, который вдвое больше диагонали AC.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования