В стране 100 городов и несколько дорог. Каждая дорога соединяет два каких-то города, дороги не пересекаются. Из каждого города можно добраться до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что можно объявить несколько дорог главными так, чтобы из каждого города выходило нечётное число главных дорог.

   Решение

Темы:    [ Геометрическая прогрессия ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Дана геометрическая прогрессия. Известно, что её первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами.
Верно ли, что её двадцатый член также является натуральным числом?

Решение

  Пусть a₁, a₂, ..., a_n, ... – данная геометрическая прогрессия, q – её знаменатель. По условию a₁,  a₁₀ = a₁q⁹  и  a₃₀ = a₁q²⁹  – натуральные числа. Поэтому q⁹ и q²⁹ – положительные рациональные числа. Отсюда следует, что  q² = q²⁹(q⁹)^–3 – положительное рациональное число и  q = q⁹(q²)^–4  также положительное рациональное число.
  Пусть  q = ^m/_n,  где m и n – натуральные взаимно простые числа. Число  a₃₀ = a₁m²⁹n^–29  натуральное, m²⁹ и n²⁹ взаимно просты, следовательно, a₁ делится на n²⁹. Отсюда получаем, что  a₂₀ = a₁q¹⁹ = a₁m¹⁹n^–19  – число натуральное.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования