Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$, $CH$ – высота; $HA_{1}, HB_{1}$ – биссектрисы углов $\angle CHB, \angle AHC$ соответственно; $E, F$ – середины отрезков $HB_{1}$ и $HA_{1}$ соответственно. Докажите, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются на биссектрисе угла $ACB$.

   Решение

Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ] [ Средние величины ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

У каждого жителя города Тьмутаракань есть свои тараканы, не у всех поровну. Два таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в частности, каждый таракан сам себе товарищ). Что больше: среднее количество тараканов, которыми владеет житель города, или среднее количество товарищей у таракана?

Решение

  Пусть в городе проживает n жителей, и пусть у i-го жителя a_i тараканов. Тогда среднее число тараканов у жителя города равно     а среднее число товарищей у таракана равно  
  В силу неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным второе число больше (равенство не достигается, потому что оно возможно только при  a₁ = ... = a_n,  что противоречит условию).

Ответ

Среднее количество товарищей у тараканов больше среднего количества тараканов у жителя города.

Замечания

Задача объясняет "закон подлости": мы обычно ездим в автобусах, более переполненных, чем в среднем, и стоим в очередях, более длинных, чем средняя.

Источники и прецеденты использования