Версия для печати
Убрать все задачи

---

На доске написаны две суммы:

1 + 22 + 333 + 4444 + 55555 + 666666 +7777777 + 88888888 + 999999999
9 + 98 + 987 + 9876 + 98765 + 987654 + 9876543 + 98765432 + 987654321

Определите, какая из них больше (или они равны).

   Решение

Темы:    [ Монотонность и ограниченность ] [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Иррациональные уравнения ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если

++=++= = ++
для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .

Решение

Без ограничения общности можем считать, что a b c . Пусть не все числа x , y , z равны. Тогда среди них есть либо строго наибольшее, либо строго наименьшее – скажем, x . Заметим, что если β>α , то функция ϕ(t)=-= – монотонно убывает. Перепишем первое из данных в условии равенств так:

(-)+(-)= =(-)+(-).
Если x – строго наибольшее, то каждая скобка слева не больше соответствующей скобки справа, причем равенства одновременно достигаются только при a=b=c . Аналогично, если x – строго наименьшее, то оба неравенства меняют знак, причем оба становятся равенствами опять же только при a=b=c .
Заметим, что мы доказали требуемое, воспользовавшись только одним из данных равенств. Правда, то, каким равенством из данных мы пользуемся, зависит от соотношения между переменными.

Источники и прецеденты использования