Версия для печати
Убрать все задачи

---

В каждой клетке доски 8×8 написали по одному натуральному числу. Оказалось, что при любом разрезании доски на доминошки суммы чисел во всех доминошках будут разные. Может ли оказаться, что наибольшее записанное на доске число не больше 32?

   Решение

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Теорема о группировке масс ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон BC и AD . В каком отношении она делит диагональ BD ?

Решение

Пусть P  — середина BC , Q  — середина AD , N  — середина PQ .
Первый способ. Выберем на прямой AC такие точки K и L (см. верхний рисунок), что BK||PQ||DL . Тогда в треугольнике BCK отрезок PN параллелен основанию и проходит через середину стороны, так что это средняя линия, откуда BK=2PN . Аналогично DL=2QN . Так как PN=QN , то DL=BK . Поскольку BK||DL и BK=DL , то BKDL — параллелограмм, поэтому KL делит BD пополам.

Второй способ. Пусть T  — середина отрезка AB . Проведем отрезки TP и TQ (см. нижний рисунок). Тогда TP  — средняя линия треугольника ABC , следовательно, TP||AC . В треугольнике PQT прямая AC делит сторону PQ пополам и параллельна TP , поэтому она пересекает сторону TQ в ее середине. Так как TQ||BD , то прямая AC делит пополам отрезок BD .
Третий способ. Снабдим вершины четырёхугольника единичными массами. Тогда центром масс этой системы будет точка N . Но центром масс точек A и C является середина отрезка AC , аналогично и для точек B и D . Значит, N  — середина отрезка, соединяющего середины AC и BD . Таким образом, AC делит отрезок BD пополам.
Четвертый способ. Пусть = , = , = . Тогда =(+)= . По условию, точка N лежит на отрезке AC , то есть коллинеарен : =k . Тогда =k , откуда =· , то есть вектор, с началом в точке A и концом в середине BD , коллинеарен . Тем самым доказано, что AC делит отрезок BD пополам.

Ответ

пополам.

Источники и прецеденты использования