Версия для печати
Убрать все задачи

---

Постройте на стороне BC данного треугольника ABC такую точку, что прямая, соединяющая основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на стороны AB и AC, параллельна BC.

   Решение

Темы:    [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

a, b и n – натуральные числа, и n нечётно. Докажите, что если числитель и знаменатель дроби     делятся на n, то и сама дробь делится на n.

Решение

По условию  a ≡ – b (mod n),  а значит,   = a^n–1 – a^n–2b + ... – ab^n–1 + bⁿ ≡ nb^n–1 ≡ 0 (mod n).

Замечания

1. В исходном варианте задачи (на Московской олимпиаде) условие нечётности отсутствовало. Но тогда утверждение неверно: контрпример
a = b = 1,  n = 2.

2. Ср. с задачей 78682.

Источники и прецеденты использования