Информация о задаче

Задача 108528

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Длины трёх сторон четырёхугольника, вписанного в окружность радиуса 2 $\sqrt{2}$ , одинаковы и равны 2. Найдите четвёртую сторону.

Подсказка

Докажите, что данный четырёхугольник — равнобокая трапеция. Далее примените теорему синусов.

Решение

Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 2 $\sqrt{2}$ , причём AB = BC = CD = 2. Обозначим $\angle$ CAD = $\alpha$ . Поскольку равные хорды стягивают равные дуги, а вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны, то $\angle$ ACB = $\angle$ CAD. Поэтому BC $\Vert$ AD. Следовательно, ABCD — равнобокая трапеция.

Из теоремы синусов следует, что

sin $\displaystyle \alpha$ = sin $\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle {\frac{CD}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{4\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{2\sqrt{2}}}$ .

Поскольку $\angle$ BAC = $\angle$ CAD = $\alpha$ , то $\angle$ BAD = 2 $\alpha$

Пусть P — проекция точки B на большее основание AD трапеции ABCD. Из прямоугольного треугольника ABP находим, что

AP = AB cos 2 $\displaystyle \alpha$ = 2(1 - 2 sin² $\displaystyle \alpha$ ) = 2 $\displaystyle \left(\vphantom{1 -2\cdot \frac{1}{8}}\right.$ 1 - 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1 -2\cdot \frac{1}{8}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ .

По свойству равнобокой трапеции AP = ${\frac{AD-BC}{2}}$ . Отсюда находим, что

AD = 2AP + BC = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ + 2 = 3 + 2 = 5.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4112