Информация о задаче

Задача 101901

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC биссектрисы углов при вершинах A и C пересекаются в точке D. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если радиус окружности с центром в точке O, описанной около треугольника ADC, равен R = 6, и $\angle$ ACO = 30^o.

Подсказка

Докажите, что $\angle$ ADC = 90^o + ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ B.

Решение

Поскольку $\angle$ BAC + $\angle$ ACB = 180^o - $\angle$ B, то $\angle$ DAC + $\angle$ ACD = 90^o - ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ B. Поэтому

$\displaystyle \angle$ ADC = 180^o - (90^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B = 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B > 90^o - $\displaystyle \angle$ B,

т.е. угол ADC — тупой. Поэтому точки D и O лежат по разные стороны от прямой AC. Из равнобедренного AOC треугольника находим, что

AC = 2OC cos 30^o = 2R^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 6 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Поскольку $\angle$ AOC — центральный угол окружности с центром O и $\angle$ AOC = 120^o, то вписанный в эту окружность $\angle$ ADC равен половине дуги AC, не содержащей точку D, т.е. $\angle$ ADC = ${\frac{1}{2}}$ ^.240^o = 120^o. Из равенства $\angle$ ADC = 90^o + ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ B находим, что

$\displaystyle \angle$ B = 2( $\displaystyle \angle$ ADC - 90^o) = 2(120^o - 90^o) = 60^o.

Пусть r — искомый радиус окружности, описанной около треугольника ABC. По теореме синусов

r = $\displaystyle {\frac{AC}{2\sin \angle B}}$ = $\displaystyle {\frac{6\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}$ = 6.

Ответ

6.00

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3640