Выбрана 1 задача 
Версия для печати
Убрать все задачи
В ряд лежат $100N$ бутербродов, каждый с колбасой и сыром. Дядя Федор и кот Матроскин играют в игру. Дядя Федор за одно действие съедает один бутерброд с одного из краев. Кот Матроскин за одно действие может стянуть колбасу с одного бутерброда (а может ничего не делать). Дядя Федор каждый ход делает по $100$ действий подряд, а кот Матроскин делает только $1$ действие; дядя Федор ходит первым, кот Матроскин вторым, далее ходы чередуются до тех пор, пока дядя Федор не доест все бутерброды. Дядя Федор выигрывает, если последний съеденный им бутерброд был с колбасой. Верно ли, что при каждом натуральном $N$ он сможет выиграть независимо от ходов кота Матроскина?
Решение
Убрать все задачи
В ряд лежат $100N$ бутербродов, каждый с колбасой и сыром. Дядя Федор и кот Матроскин играют в игру. Дядя Федор за одно действие съедает один бутерброд с одного из краев. Кот Матроскин за одно действие может стянуть колбасу с одного бутерброда (а может ничего не делать). Дядя Федор каждый ход делает по $100$ действий подряд, а кот Матроскин делает только $1$ действие; дядя Федор ходит первым, кот Матроскин вторым, далее ходы чередуются до тех пор, пока дядя Федор не доест все бутерброды. Дядя Федор выигрывает, если последний съеденный им бутерброд был с колбасой. Верно ли, что при каждом натуральном $N$ он сможет выиграть независимо от ходов кота Матроскина?
Решение
Задача 109534
|
|
 |
Условие
Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.Решение
Для каждой пирамиды с площадью основания Si и высотой Hi , i=1 , 2, 7, рассмотрим функцию Si(x) , выражающую зависимость площади сечения пирамиды горизонтальной плоскостью, расположенной на расстоянии x от поверхности стола. Имеем:Графики любых двух таких функций (рис.) могут либо иметь одну общую точку, либо совпадать, так как уравнение
по условию задачи при Hi<Hj имеет корень на отрезке [0,Hi] , а второй корень принадлежит отрезку [Hi,Hj] (поскольку при x=Hi левая часть меньше правой, а при x=Hj – наоборот) и не попадает в область определения функции Si(x) (в случае Hi=Hj они имеют либо один корень x=Hi=Hj , либо совпадают). Рассмотрим два графика, которые имеют ровно одну общую точку с абсциссой x0 (если таких не найдется, то все семь графиков совпадают, и можно выбрать любую горизонтальную секущую плоскость). Тогда из условия задачи следует, что любой другой график также проходит через эту точку. Поэтому плоскость, проходящая на расстоянии x0 от стола, удовлетворяет требованию задачи.
