На прозрачном столе стоит куб 3×3×3, составленный из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди, сзади, слева, справа, сверху, снизу) мы видим квадрат 3×3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать так, чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не разваливалась?

   Решение

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Неопределено ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1. Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число встречается ровно один раз.

Подсказка

Докажите, что среди чисел вида ma и nb для натуральных m и n ровно k-1 число, меньшее k.

Решение

Докажем, что среди чисел вида ma и nb для натуральных m и n ровно k-1 число, меньшее k. Применив затем это утверждение для k=1, 2, ... , получим, что в каждом промежутке от 1 до 2, от 2 до 3, ... , от k-1 до k добавляется ровно одно число вида [ma] или [nb]. Итак, зададимся некоторым натуральным k. Найдем числа M и N такие, что Ma<k<(M+1)a и Nb<k<(N+1)b. (Здесь мы имеем право взять строгие неравенства, поскольку a и b - иррациональные числа.) Тогда имеется ровно M+N чисел вида [ma] или [nb], меньших k. В самом деле, число [ma] меньше k в точности при m = 1, 2, ... , M; и аналогично число [nb] меньше k в точности при b = 1, 2, ... , N. Осталось понять, что M+N=k-1. Разделим неравенства Ma<k<(M+1)a и Nb<k<(N+1)b на a и b соответственно, а затем сложим их. Получим: M+N < k/a+k/b < M+N+2. По условию k/a+k/b=1, поэтому M+N < k < M+N+2. Таким образом, натуральное k заключено между натуральными числами M+N и M+N+2. Отсюда однозначно k=M+N+1, т.е. M+N=k-1, что мы и хотели доказать.

Источники и прецеденты использования