Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано n чисел, x₁, x₂, ..., x_n, при этом  x_k = ±1.  Доказать, что если  x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁ = 0,  то n делится на 4.

   Решение

Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Биссектрисы AA₁ и CC₁ пересекают отрезки C₁B₁ и B₁A₁ в точках M и N. Докажите, что  MBB₁ = NBB₁.

Решение

Пусть отрезки BM и BN пересекают сторону AC в точках P и Q. Тогда

Если O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то  ^{. .} = 1, а значит,  = ^{. .} . Заметив, что  BC₁ : C₁A = BC : CA, и проведя аналогичные вычисления для  sin QBB₁ : sin QBC, получим  sin PBB₁ : sin PBA = sin QBB₁ : sin QBC. А так как  ABB₁ = CBB₁, то  PBB₁ = QBB₁.

Источники и прецеденты использования