На доску последовательно выписываются числа  a₁ = 1,  a₂, a₃, ... по следующим правилам: a_n+1 = a_n – 2,  если число  a_n – 2  – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае  a_n+1 = a_n + 3.  Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

   Решение

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Деление с остатком ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n с разностью 2, обладающей свойством:    – простое при всех  k = 1, 2, ..., n?

Решение

Если  a = 5m ± 2,  то  a² + 1  делится на 5. Это число будет простым только при  a = 2.  Среди чисел b,  b + 2,  b + 4,  ...  не более двух подряд идущих чисел, не имеющих вид  5m ± 2.  Значит, если в прогрессии не содержится число 2, то  n ≤ 2.  Если  a₁ = 2,  то  n ≤ 3,  так как  a₄ = 8 = 5·2 – 2.  Числа  a₁ = 2,
a₂ = 4,  a₃ = 6  дают искомую тройку: 5, 17, 37 – простые числа.

Ответ

n = 3.

Источники и прецеденты использования