Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Имеются чашечные весы и 100 монет, среди которых несколько (больше 0, но меньше 99) фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие тоже весят одинаково, при этом фальшивая монета легче настоящей. Можно делать взвешивание на весах, заплатив перед взвешиванием одну из монет (неважно, фальшивую или настоящую). Докажите, что можно с гарантией обнаружить настоящую монету.
РешениеМиша загадал число не меньше 1 и не больше 1000. Васе разрешено задавать только такие вопросы, на которые Миша может ответить «да» или «нет» (Миша всегда говорит правду). Может ли Вася за 10 вопросов определить загаданное число?
Решение
|
|
 |
Условие
Боря и Миша едут в поезде и считают столбы за окном: "один, два, ...". Боря не выговаривает букву "Р", поэтому при счете он пропускает числа, в названии которых есть буква "Р", а называет сразу следующее число без буквы "Р". Миша не выговаривает букву "Ш", поэтому пропускает числа с буквой "Ш". У Бори последний столб получил номер "сто". Какой номер этот столб получил у Миши?
Решение
Боря выговаривает числа, в записи которых нет цифр 3 и 4 – среди первых ста чисел таких (10 – 2)2 = 64 (и для цифры десятков, и для цифры единиц есть по 8 вариантов), то есть на самом деле столбов было 64.
Миша же пропускает числа, в записи которых присутствует цифра 6. Поэтому, досчитав до 59, он пропустит 6 чисел – то есть ему останется посчитать еще 64 – (59 – 6) = 11 столбов. Отсчитывая эти 11 столбов, Миша пропустит все числа от 60 до 69, а также число 76. В результате последний столб получит у него номер 69 + 11 + 1 = 81.
Ответ
81.
Замечания
Боря, фактически, считает столбы в восьмеричной системе счисления с цифрами 0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9; а Миша – в девятеричной с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Соответственно, чтобы решить задачу, надо перевести число 100 из восьмеричной системы в девятеричную – получится 71, а потом записать его "Мишиными цифрами" (пропуская шестерку) – получится 81.
