Версия для печати
Убрать все задачи

---

Некоторые участники олимпиады дружат, и дружба взаимна. Назовём группу участников кликой, если все они дружат между собой. Их число называется размером клики. Известно, что максимальный размер клики чётен. Докажите, что участников можно рассадить по двум аудиториям так, что максимальные размеры клик в обеих аудиториях совпадают.

   Решение

---

У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы – один слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков – одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая?

   Решение

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Семиугольник, три угла которого равны по 120^o , вписан в окружность. Могут ли все его стороны быть различными по длине?

Решение

Пусть в данном семиугольнике есть два соседних угла по 120^o , например, углы при вершинах A и B (рис.1). Тогда

GAB = ABC = 360^o-240^o=120^o,
поэтому BOG = AOC = 120^o , где O – центр окружности. Значит, AOG = BOC . Следовательно, AG = BC . Если же углы по 120^o расположены не рядом, то без ограничения общности можно считать, что это углы при вершинах A , C и E (рис.2). Тогда
BOG = BOD = DOF = 120^o, FOG = 360^o - ( BOG + BOD + DOF)= 360^o-3· 120^o = 0^o,
что невозможно.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования