Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.

   Решение

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если
  а)  k = 9;   б)  k = 8?

Решение

  а) Удалим числа 1, 2, ..., 9. Тогда сумма даже девяти наименьших из оставшихся чисел  (10 + 11 + ... + 18 = 126)  больше 100.

  б) Рассмотрим 12 пар чисел, дающих в сумме 25:  (1, 24),  (2, 23),  ...,  (12, 13).  После удаления 8 чисел останется не меньше четырёх нетронутых пар. Они и дадут в сумме 100.

Ответ

а) Необязательно;  б) обязательно.

Замечания

Баллы: 2 + 4

Источники и прецеденты использования