В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.

   Решение

Темы:    [ Эйлерова характеристика ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

Участок m×n. Прямоугольный участок размера m×n разбит на квадраты 1×1. Каждый квадрат является отдельным участком, соединенным калитками с соседними участками. При каких размерах участка можно обойти все квадратные участки, побывав в каждом по одному разу, и вернуться в первоначальный?

Решение

Раскрасим квадраты в шахматном порядке. При каждом переходе меняется цвет клетки, поэтому, если такой маршрут возможен, то только при четном числе клеток (возвращаемся в ту же клетку), т.е. или m или n четные числа. Осталось проверить, что при любых размерах обход возможен из любой клетки.

Источники и прецеденты использования