Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на ω точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались ω, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.

   Решение

Тема:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

В алфавите языка племени Ни-Бум-Бум 22 согласных и 11 гласных; словом в этом языке называется произвольное буквосочетание, в котором нет двух согласных подряд и ни одна буква не использована дважды. Алфавит разбили на шесть непустых групп. Докажите, что из всех букв одной из групп можно составить слово.

Решение

Заменим согласные буквы единицами, а гласные – минус единицами. Так как сумма всех полученных чисел равна 11, а групп шесть, то в одной из групп сумма не превосходит 1. Это значит, что гласных в ней достаточно, чтобы заполнить все промежутки между согласными.

Источники и прецеденты использования