Информация о задаче

Задача 104115

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Тригонометрические уравнения	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3-
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Сумма трёх положительных углов равна 90^o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?

Решение

Пусть $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма равна 90^o, все они меньше 90^o. Следовательно, cos $\gamma$ = cos(90^o - $\alpha$ - $\beta$ ) = sin( $\alpha$ + $\beta$ ) = sin $\alpha$ cos $\beta$ + cos $\alpha$ sin $\beta$ < cos $\beta$ + cos $\alpha$ , а значит cos $\gamma$ $\neq$ cos $\alpha$ + cos $\beta$ .

Другое решение. Пусть $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ -- углы, удовлетворяющие условию задачи, и cos $\alpha$ +cos $\beta$ =cos $\gamma$ . Это равносильно выполнению равенства: sin(90^o- $\alpha$ )+sin(90^o- $\beta$ )=sin(90^o- $\gamma$ ).

Заметим, что углы (90^o- $\alpha$ ), (90^o- $\beta$ ) и (90^o- $\gamma$ ) также положительные (иначе какой-нибудь из углов $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ должен быть не меньше 90^o, что противоречит условию), а их сумма равна 180^o. Следовательно, существует треугольник с такими углами. Умножим обе части полученного равенства на 2R, где R -- радиус окружности, описанной около треугольника. Тогда для сторон треугольника выполняется равенство а+b=c, что невозможно.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Дата	2005
Номер	28
задача
Номер	7