На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).
Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?

   Решение

а) В треугольнике ABC проведены биссектрисы внешних углов AA₁, BB₁ и CC₁ (точки A₁, B₁ и C₁ лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
б) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и BB₁ и биссектриса внешнего угла CC₁. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что  a > 1,  b > 1,  и  [a^m]  отлично от  [bⁿ]  при любых натуральных числах m и n?

Решение

  Первый пример.     Заметим, что  x³ – y³ > x² – y²  при  x > y > 1.  Поэтому     (последнее неравенство следует из разной чётности чисел 3^m и 2ⁿ). Отсюда, очевидно, следует утверждение задачи.

  Второй пример.     Положим     Из формулы бинома следует, что число     целое и не кратно 3 (члены, содержащие нечётную степень    сокращаются; все слагаемые, кроме 2^m, кратны 3).
  В то же время число  B = bⁿ + dⁿ = 3ⁿ(aⁿ + cⁿ)  также целое и кратно 3.
  Но  0 < c < d < 1,  поэтому  [a^m] = A – 1 ≠ B – 1 = [bⁿ].

Ответ

Существуют.

Замечания

1. Несложно придумать нужную пару чисел, если не требовать их иррациональности. На самом деле требование иррациональности не принципиально, оно лишь создает некоторые технические трудности. Приведённые решения иллюстрируют два способа преодоления этих трудностей.

2. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования