Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число?
б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?

   Решение

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность S с центром O и окружность S' пересекаются в точках A и B. На дуге окружности S, лежащей внутри S', взята точка C. Точки пересечения прямых AC и BC с S', отличные от A и B, обозначим через E и D соответственно. Докажите, что прямые DE и OC перпендикулярны.

Решение 1

  Пусть касательная к окружности S, проведённая через точку C, пересекает окружность S' в точке M, лежащей на дуге AD, не содержащей точки E. Тогда
∠ACM = ∠ABC = ∠AED. 
  Поэтому  CM || DE,  а так как  OC ⊥ CM  как радиус, проведённый в точку касания, то  OC ⊥ DE.

Решение 2

  Пусть  α = ∠BDE = ∠BAE = ∠BAC.
  Из равнобедренного треугольника BOC находим, что  ∠ BCO = ½ (180° – ∠BOC) = ½ (180° – 2α) = 90° – α.
  Пусть P – точка пересечения прямых DE и OC. Тогда  ∠DCP = ∠BCO = 90° – α.
  Следовательно,  ∠CPD = 180° – (∠DCP + ∠CDP) = 180° – (∠DCP + ∠BDE) = 180° – (90° – α + α) = 90°,  то есть  DE ⊥ OC.

Источники и прецеденты использования