Версия для печати
Убрать все задачи

---

  По будням Рассеянный Учёный едет на работу по кольцевой линии московского метро от станции "Таганская" до станции "Киевская", а вечером – обратно (см. схему).

  Войдя на станцию, Учёный садится в первый же подошедший поезд. Известно, что в обоих направлениях поезда ходят с примерно равными интервалами, причём по северному маршруту (через "Белорусскую") поезд идёт от "Киевской" до "Таганской" или обратно 17 минут, а по южному маршруту (через "Павелецкую") – 11 минут.   По давней привычке Учёный всё всегда подсчитывает. Однажды он подсчитал, что по многолетним наблюдениям:
  - поезд, идущий против часовой стрелки, приходит на "Киевскую" в среднем через 1 минуту 15 секунд после того, как на неё приходит поезд, идущий по часовой стрелке. То же верно и для "Таганской".
  - на поездку из дома на работу Учёный в среднем тратит на 1 минуту меньше, чем на поездку с работы домой.
  Найдите математическое ожидание интервала между поездами, идущими в одном направлении.

   Решение

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Касающиеся сферы ] [ Неопределено ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.

Подсказка

Если окружности радиусов r и R касаются внешним образом, то отрезок их общей внешней касательной, заключённый между точками касания равен .

Решение

Пусть ABC – прямоугольный треугольник, в котором ∠C = 90°, ∠A = 90°, BC = 1. Тогда AB = 2, . Обозначим через x, y и z радиусы сфер с центрами O₁, O₂ и O₃, касающихся плоскости треугольника ABC в точках A, B и C соответственно и попарно касающихся между собой внешним образом (рис.1).

Прямые O₂B и O₃C перпендикулярны плоскости треугольника ABC, поэтому O₂B || O₃C. Проведём через эти прямые плоскость (рис.2). Получим касающиеся окружности радиусов y и z с центрами O₂, O₃ и прямую, касающуюся этих окружностей в точках B и C. Поскольку BC = 1, имеем уравнение . Аналогично и . После очевидных преобразований получим систему уравнений

Перемножив почленно два первых уравнения и разделив результат на третье, найдём, что . Аналогично находим y и z.

Ответ

ответ

Источники и прецеденты использования