Информация о задаче

Задача 57950

Тема:

[

Поворот (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Треугольник A₁B₁C₁ получен из треугольника ABC поворотом на угол $\alpha$ ( $\alpha$ < 180^o) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ (или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC.

Решение

Пусть A и B — точки окружности с центром O, A₁ и B₁ — образы этих точек при повороте на угол $\alpha$ относительно центра O; P и P₁ — середины отрезков AB и A₁B₁; M — точка пересечения прямых AB и A₁B₁. Прямоугольные треугольники POM и P₁OM имеют общую гипотенузу и равные катеты PO = P₁O, поэтому эти треугольники равны и $\angle$ MOP = $\angle$ MOP₁ = $\alpha$ /2. Точка M получается из точки P поворотом на угол $\alpha$ /2 и последующей гомотетией с коэффициентом 1/cos( $\alpha$ /2) и центром O.
Точки пересечения прямых AB и A₁B₁, AC и A₁C₁, BC и B₁C₁ являются вершинами треугольника, гомотетичного с коэффициентом 1/cos( $\alpha$ /2) треугольнику, образованному серединами сторон треугольника ABC. Ясно, что треугольник, образованный серединами сторон треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	3
Название	Повороты на произвольные углы
Тема	Поворот (прочее)
задача
Номер	18.028