Информация о задаче

Задача 78145

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов соответственно равны 4, 3 $\sqrt{2}$ , 5, 4 $\sqrt{2}$ . Площадь многоугольника равна S. Доказать, что S $\ge$ 10.

Решение

Аналогично решению задачи 5 для 8 класса устанавливается, что искомый многоугольник М заключается внутри пересечения Q = Р $\cap$ р; при этом, поскольку М проектируется в четырёх направлениях отрезками заданной в условии длины, то он имеет точки на всех восьми сторонах восьмиугольника Q $\equiv$ RTUVWXYZ. Обозначим эти восемь точек последовательно через r, t, u, v, w, x, y и z (рис. ???; не исключено, что некоторые из названных точек совпадут с вершинами Q или между собой); так как многоугольник М выпуклый, то он обязательно будет содержать внутри выпуклый восьмиугольник q = rtuvwxyz (который также может фактически иметь меньше восьми сторон!), возможно, совпадая с ним. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы установить, когда будет наименьшей площадь q. Заметим прежде всего, что если вершины t и z восьмиугольника q закреплены, то, стремясь уменьшить площадь $\Delta$ zrt, мы всегда можем сдвинуть r в одну из вершин R или Т восьмиугольника Q. В самом деле, если z не совпадает с R и t не совпадает с T, то в случае, когда zt $\nparallel$ RT, площадь $\Delta$ zrt будет меньше всего при совпадении r с тем из концов отрезка RT, который ближе к прямой zt; если же zt || RT, то площадь $\Delta$ zrt вовсе не зависит от положения точки r на RT, и мы снова можем считать эту точку совпадающей с R или с T. Аналогично, если z совпадает с R или t совпадает с T, то (равный нулю) минимум площади $\Delta$ zrt достигается, когда r совпадает с той же точкой; если же и r совпадает с R и t с T, то нам безразлично, где расположить (фиктивную!) `` вершину'' r восьмиугольника q, и мы можем свободно считать её совпадающей с R или с Т. Разумеется, это рассуждение сохраняет силу и в применении к любой другой вершине восьмиугольника q, так что можно смело считать, что все вершины q совпадают с какими-то вершинами Q. Но этим наши заключения о виде восьмиугольника q наименьшей возможной площади не ограничиваются. Предположим, например, что вершина r этого многоугольника совпадает с вершиной R многоугольника Q (рис. ???). Ясно при этом, что если y совпадает с Y, то площадь $\Delta$ yzr будет меньше всего (а именно будет равен нулю), если также и вершина z восьмиугольника q совпадёт с той же точкой R; если же у $\equiv$ Z, то мы также можем считать, что (фиктивная) вершина z совпадает с R. Далее ясно, что если y совпадает с Y, то по тем же соображениям и x совпадёт с Y; точно так же, если х совпадает с Y, то и у совпадёт с Y; поэтому либо обе точки х и y совпадают с Y (рис. ???), либо у совпадает с Z, а х — с X, причём в последнем случае точка w тоже должна совпасть с X (рис. ???). Точно так же устанавливается, что либо точки t и u обе совпадают с U, либо t совпадает с T и тогда точки u и v обе должны совпасть с V. Таким образом, если точки r и z совпадают с R, точки х и у — с Y, а точки t и u — с U, то либо две оставшиеся вершины v и w восьмиугольника q обе совпадают с W (рис. ???), либо v совпадает с V, a w - с X (рис. ???). Если точки r и z совпадают с R, точки х и у — с Y, точка t — с T и точки u и v — с V, то в случае, когда точка w совпадает с W, мы приходим к пятиугольнику RTVWY во всем подобному пятиугольнику рис. ???; если же точка w совпадает с X, то `` восьмиугольник'' q обращается в пятиугольник RTVXY того же типа, что и два предшествующие. Наконец, случай, когда точки r и z совпадают с R, точка y - с Z, точки х и w — с X, точка t — с Т, а точки u и v — с V (рис. ???), является невозможным, ибо при этом мы можем еще уменьшить площадь (вырожденного) `` восьмиугольника'' q $\equiv$ RTVXZ, совместив z с Z и r — с T. Поэтому интересующий нас восьмиугольник q обязательно будет вырожденным, а именно, он будет представлять собой четырёхугольник типа RUWY (рис. ???) или TVXZ, либо пятиугольник типа RUVXY (рис. ???). Рассмотрим эти два случая последовательно. Более простым из них является тот случай, когда `` восьмиугольник'' q наименьшей площади обращается в четырёхугольник RUWY или TVXZ. Дело в том, что площади четырёхугольников RUWY и TVXZ вовсе не зависят от взаимного расположения прямоугольников p и P. В самом деле, пусть AB = а(= 5) и AD = b(= 4) — стороны прямоугольника P; отрезки сторон этого прямоугольника, отсекаемые сторонами прямоугольника p, обозначим через $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и $\delta$ , как это указано на рис. ???. В таком случае

S_RUWY	= S_ABCD - S_BWY - S_CYR - S_DRU	(34)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(a - $\displaystyle \beta$ ) $\displaystyle \alpha$ + (b - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \beta$ + (a - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + (b - $\displaystyle \alpha$ ) $\displaystyle \delta$ ]	(35)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [a( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ ) + b( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ ) - ( $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \delta$ $\displaystyle \alpha$ )]	(36)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ )a + ( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ )b - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ )( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ )].	(37)

Но

$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ (h_A + h_C) = $\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ = 3

$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ (h_B + h_D) = $\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = 1,

откуда и следует, что

S_RUWY = 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (3^.5 + 1^.4 - 3^.1) = 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.16 = 12

независимо от расположения прямоугольников p и P. Точно так же устанавливается, что

S_TVXZ	= S_ABCD - S_ATV - S_BVX - S_CXZ - S_DZT	(38)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(b - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \alpha$ + (a - $\displaystyle \alpha$ ) $\displaystyle \beta$ + (b - $\displaystyle \beta$ ) $\displaystyle \gamma$ + (a - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ ]	(39)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ )a + ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ )b - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ )( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ )],	(40)

т.е.

S_TVXZ = 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (1^.5 + 3^.4 - 3^.1) = 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.14 = 13.

Перейдём теперь к тому случаю, когда `` восьмиугольник'' q фактически является пятиугольником (ср. рис. ???). Одна сторона этого пятиугольника целиком принадлежит стороне р и одна — стороне Р; рассматривая отдельно случаи, когда сторона q принадлежит большей и меньшей стороне р и когда сторона q принадлежит большей и меньшей стороне Р, мы получим следующие четыре типа рассматриваемых пятиугольников.

Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника P (например, стороне AB), другая — большей стороне p (скажем, стороне cd; рис. ??? а). В этом случае, очевидно, имеем

S_q = S_ABCD - S_ATV - S_BWY - S_CYZ - S_DZT (41)

= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(b - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \alpha$ + (b - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ + (a - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ ] (42)

= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )b + $\displaystyle \delta$ a - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ - $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ ], (43)

или, поскольку a = 5, b = 4, $\alpha$ + $\gamma$ = 3 (т.е. $\alpha$ = 3 - $\gamma$ ) и $\beta$ + $\delta$ = 1 (т.е. $\beta$ = 1 - $\delta$ ),

S_q = 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(4 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$ )^.4 + $\displaystyle \delta$ ^.5 - 3 $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ - (1 - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ ] (44)

= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [16 - 5 $\displaystyle \gamma$ - 2 $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ + $\displaystyle \delta$ $\displaystyle \gamma$ ] (45)

= 20 - 8 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [2 $\displaystyle \delta$ + (5 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ ] $\displaystyle \geq$ 12, (46)

ибо $\delta$ $\geq$ 0, $\gamma$ $\geq$ 0 и $\gamma$ + $\delta$ < 5 (так как $\gamma$ $\leq$ 3 и $\delta$ $\leq$ 1).

Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника P (например, стороне AB), другая — меньшей стороне p (стороне ad; рис. ???). В этом случае имеем

S_q	= S_RTVWY = S_ABCD - S_ATV - S_BWY - S_CYZ - S_DRT	(47)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(b - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \alpha$ + (b - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \beta$ + (a - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$ ]	(48)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )b + $\displaystyle \gamma$ a - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ - $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$ ]	(49)
	= 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(4 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$ )^.4 + $\displaystyle \gamma$ ^.5 - 3 $\displaystyle \delta$ - (1 - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$ ]	(50)
	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [16 - 7 $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$ ] = 20 - 8 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (7 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \delta$ $\displaystyle \geq$ 12,	(51)

так как $\delta$ $\geq$ 0 и, очевидно, $\gamma$ + $\delta$ < 7.

Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника p (скажем, стороне ab), а другая — меньшей стороне прямоугольника P (стороне BC; см. рис. ???). Тогда

S_q	= S_RUVXY = S_ABCD - S_AUV - S_BVX - S_CYR - S_DRU	(52)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [ $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ + (a - $\displaystyle \alpha$ ) $\displaystyle \beta$ + (a - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + (a - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + (b - $\displaystyle \alpha$ ) $\displaystyle \delta$ ]	(53)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ )a + $\displaystyle \delta$ b - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ - $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ ]	(54)
	= 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(4 - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \delta$ )^.5 + $\displaystyle \delta$ ^.4 - 3 $\displaystyle \delta$ - (1 - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ ]	(55)
	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [20 - 6 $\displaystyle \alpha$ - 4 $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ ]	(56)
	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [20 - 6 $\displaystyle \alpha$ - 4 $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ ]	(57)
	= 20 - 10 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [4 $\displaystyle \delta$ + (6 - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \alpha$ ] $\displaystyle \geq$ 10,	(58)

поскольку $\delta$ $\geq$ 0, $\alpha$ $\geq$ 0 и, разумеется, $\alpha$ + $\delta$ < 6.

Одна сторона пятиугольника q принадлежит меньшей стороне прямоугольника P (скажем, стороне AD), другая — меньшей стороне прямоугольника p (стороне bc; см. рис. ???). В этом случае получаем

S_q	= S_TUWXZ = S_ABCD - S_AUW - S_BWX - S_CXZ - S_DZT	(59)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(a - $\displaystyle \beta$ ) $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ + (b - $\displaystyle \beta$ ) $\displaystyle \gamma$ + (a - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ ]	(60)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \delta$ )a + $\displaystyle \gamma$ b - ( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ - $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \beta$ ]	(61)
	= 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(4 - $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$ )^.5 + $\displaystyle \gamma$ ^.4 - $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ - (3 - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \beta$ ]	(62)
	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [20 - 8 $\displaystyle \beta$ - 2 $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ + $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ ]	(63)
	= 20 - 10 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [2 $\displaystyle \gamma$ + (8 - $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \beta$ ] $\displaystyle \geq$ 10,	(64)

ибо $\beta$ $\geq$ 0, $\gamma$ $\geq$ 0 и, разумеется, $\beta$ + $\gamma$ < 8.

Таким образом, во всех случаях S_q $\geq$ 10; равенство S_q = 10 имеет место, например, если в условиях рис. ??? $\alpha$ = $\delta$ = 0 (рис ???). В этом случае восьмиугольник Q вырождается в пятиугольник, а q вырождается в треугольник (почему?).

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	1