Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть l_A, l_B, l_C и l_D – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть l_P и l_Q – внешние биссектрисы углов соответственно A_PD и A_QB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через M_AC точку пересечения l_A и l_C, через M_BD – l_B и l_D, через M_PQ – l_P и l_Q. Докажите, что, если все три точки M_AC, M_BD и M_PQ существуют, то они лежат на одной прямой.

   Решение

Тема:    [ Выигрышные и проигрышные позиции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В нижнем левом углу шахматной доски 8 на 8 стоит фишка. Двое по очереди передвигают её на одну клетку вверх, вправо или вправо-вверх по диагонали.  Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний угол. Кто победит при правильной игре?

Ответ

Назовем клетку доски выигрышной, если игрок, который ходит из этой клетки, выигрывает при правильной игре. Остальные клетки назовем проигрышными.
  Будем обозначать выигрышные клетки знаком "+", а проигрышные - знаком "-". Начнем заполнять доску. Клетки g7, g8 и h7 - очевидно, выигрышные, так как из них можно первым же ходом попасть в h8. Далее, клетки f8 и h6 - проигрышные, потому что из них можно попасть только в выигрышные клетки. Продолжая таким образом заполнять доску, увидим, что в клетке a1 стоит "+". Значит, при правилльной игре побеждает первый игрок.

Источники и прецеденты использования