Версия для печати
Убрать все задачи

---

В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?

   Решение

Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит  .

Подсказка

Наименьший угол треугольника не превосходит 60°.

Решение

Пусть α – наименьший угол треугольника. Тогда  α ≤ 60°.  Если этот угол заключен между сторонами a и b, а S – площадь треугольника, то
S = ½ ab sin α ≤ sin 60° = .

Замечания

Площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 1, равна  .

Источники и прецеденты использования