Пусть $M$ – середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через $C$ и $M$, пересекает прямые $BC$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $c_1, c_2$ – окружности с центрами $P$, $Q$ и радиусами $BP$, $AQ$ соответственно. Докажите, что $c_1$, $c_2$ и описанная окружность треугольника $ABC$ проходят через одну точку.

   Решение

Темы:    [ Математическая логика (прочее) ] [ Турниры и турнирные таблицы ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

В забеге шести спортсменов Андрей отстал от Бориса и еще от двух спортсменов. Виктор финишировал после Дмитрия, но ранее Геннадия. Дмитрий опередил Бориса, но все же пришел после Евгения. Какое место занял каждый спортсмен?

Решение

  Перенумеруем условия.
    1) Андрей отстал от Бориса и еще от двух спортсменов.
    2) Виктор финишировал после Дмитрия, но ранее Геннадия.
    3) Дмитрий опередил Бориса, но все же пришёл после Евгения.
  Из 1) следует, что Андрей занял четвёртое место, а Борис – одно из первых трёх. Из 3) следует, что Дмитрий финишировал впереди Бориса, но позже Евгения. Итак, первая четвёрка определена: Евгений, Дмитрий, Борис, Андрей.
  Из 2) следует, что Виктор был впереди Геннадия.

Ответ

Спортсмены пришли к финишу в следующем порядке: Евгений, Дмитрий, Борис, Андрей, Виктор, Геннадий.

Источники и прецеденты использования