Задача 66674

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Mahdi Etesami Fard

Пусть $M$ – середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через $C$ и $M$, пересекает прямые $BC$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $c_1, c_2$ – окружности с центрами $P$, $Q$ и радиусами $BP$, $AQ$ соответственно. Докажите, что $c_1$, $c_2$ и описанная окружность треугольника $ABC$ проходят через одну точку.

Решение

Пусть $N$ – вторая точка пересечения окружности $MPQ$ с $AB$. Тогда $\angle QNA=\angle QPM=\angle ACM=\angle CAM$. Следовательно, $QA=QN$ и $N$ лежит на окружности $c_2$. Аналогично $N$ лежит на $c_1$. Теперь, если $D$ – вторая точка пересечения $c_1$ и $c_2$, то $\angle ADB=\angle ADN+\angle NDB=(\angle AQN+\angle NPB)/2=90^{\circ}$, т.е. $D$ лежит на окружности $ABC$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1