ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      



Задача 56622

Тема:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники ABC', AB'C и A'BC, причем сумма углов при вершинах A', B' и C' кратна  180o. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56623

Тема:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников  AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в одной точке.
б) Точки A1, B1 и C1 перемещаются по прямым BC, CA и AB так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников  AB1C1, A1BC1 и A1B1C остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 61198

Темы:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

На плоскости расположены 4 прямые общего положения. Каждым трем прямым поставим в соответствие окружность, проходящую через точки их пересечения. Докажите, что 4 полученных окружности проходят через одну точку.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56624

Тема:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Точки A1, B1, C1 движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник A1B1C1 имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек A1, B1, C1 к прямым BC, CA, AB пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56625

Тема:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A1, B1 и C1. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .