Задача 56625

Тема:    [ Три окружности пересекаются в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.

Решение

Описанная окружность треугольника AB₁C₁ проходит через точку X, поэтому BXC = 180^o - A. Это означает, что точка X лежит на окружности, симметричной описанной окружности треугольника ABC относительно стороны BC. Ясно, что три окружности, симметричные описанной окружности треугольника относительно его сторон, не могут иметь более одной общей точки.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	9
Название	Три описанные окружности пересекаются в одной точке
Тема	Три окружности пересекаются в одной точке
задача
Номер	02.080.1