Задача 56624

Тема:    [ Три окружности пересекаются в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точки A₁, B₁, C₁ движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек A₁, B₁, C₁ к прямым BC, CA, AB пересекаются в одной точке.

Решение

Согласно задаче 2.80 б) описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в фиксированной точке P. Размер треугольника A₁B₁C₁ пропорционален длине отрезка PA₁. Длина этого отрезка минимальна, когда он перпендикулярен прямой BC. В этом случае отрезки PB₁ и PC₁ тоже должны быть минимальными.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	9
Название	Три описанные окружности пересекаются в одной точке
Тема	Три окружности пересекаются в одной точке
задача
Номер	02.081B