Условие
Точки
A1,
B1,
C1 движутся по прямым
BC,
CA,
AB так, что все
треугольники
A1B1C1 подобны одному и тому же треугольнику (треугольники
предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите,
что треугольник
A1B1C1 имеет минимальный размер тогда и только тогда,
когда перпендикуляры, восставленные из точек
A1,
B1,
C1 к прямым
BC,
CA,
AB пересекаются в одной точке.
Решение
Согласно задаче
2.80 б) описанные окружности треугольников
AB1C1,
A1BC1 и
A1B1C пересекаются в фиксированной точке
P. Размер
треугольника
A1B1C1 пропорционален длине отрезка
PA1. Длина этого
отрезка минимальна, когда он перпендикулярен прямой
BC. В этом случае отрезки
PB1 и
PC1 тоже должны быть минимальными.
Источники и прецеденты использования
