Задача 56623

Тема:    [ Три окружности пересекаются в одной точке ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁, B₁ и C₁, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в одной точке.
б) Точки A₁, B₁ и C₁ перемещаются по прямым BC, CA и AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)

Решение

а) Применяя утверждение задачи 2.79 к треугольникам  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C, построенным на сторонах треугольника A₁B₁C₁, получаем требуемое.
б) Пусть P — точка пересечения указанных окружностей. Докажем, что величина угла  (AP, PC) постоянна. Так как  (AP, PC) = (AP, AB) + (AB, BC) + (BC, PC), а угол  (AB, BC) постоянен, то остается проверить, что сумма  (AP, AB) + (BC, PC) постоянна. Ясно, что  (AP, AB) + (BC, CP) = (AP, AC₁) + (CA₁, CP) = (B₁P, B₁C₁) + (B₁A₁, B₁P) = (B₁A₁, B₁C₁), а величина последнего угла постоянна по условию. Аналогично доказывается, что величины углов  (AP, PB) и  (BP, PC) постоянны. Следовательно, точка P остается неподвижной.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	9
Название	Три описанные окружности пересекаются в одной точке
Тема	Три окружности пересекаются в одной точке
задача
Номер	02.080