Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S₁ и S₂ пересекаются в точках A₁ и A₂, S₂ и S₃ — в точках B₁ и B₂, S₃ и S₄ — в точках C₁ и C₂, S₄ и S₁ — в точках D₁ и D₂ (рис.). Докажите, что если точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности S (или прямой), то и точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности (или прямой).

   Решение

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теорема косинусов ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны точки K и L так, что  AK = KL = LB.
Найдите острые углы треугольника ABC, если известно, что  CK = CL.

Решение

  Пусть P и Q – проекции точек K и L на прямую BC.

  Первый способ. Обозначим BC = 3a,  CL = x.  Тогда  CK = x ,  KP² = CK² – CP² = 2x² – a²,  LQ² = x² – 4a².
  Поскольку  KP = 2LQ,  то  2x² – a² = 4(x² – 4a²),  откуда  x² = 7,5a².  Следовательно,  LQ² = 3,5a²,  tg∠B = ^LQ/_BQ = .

  Второй способ. Обозначим  ∠B = β.  Будем считать, что  BL = 1,  тогда  BС = 3cos β.
  По теореме косинусов  4 + 9 cos²β – 12 cos²β = 2(1 + 9 cos²β – 6 cos²β),  то есть  9 cos²β = 2.

Ответ

Источники и прецеденты использования