Версия для печати
Убрать все задачи

---

В наборе имеется 100 гирь, каждые две из которых отличаются по массе не более чем на 20 г. Доказать, что эти гири можно положить на две чашки весов, по 50 штук на каждую, так, чтобы одна чашка весов была легче другой не более чем на 20 г.

   Решение

---

В квадрате 7×7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

   Решение

Темы:    [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

По кругу написано 100 ненулевых чисел. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а прежние числа стерли. Количество положительных чисел не изменилось. Какое минимальное количество положительных чисел могло быть написано изначально?

Решение

  Оценка. Предположим, что положительных чисел было не более 33. Отрицательные числа в произведении могут образовываться, только если один из сомножителей положительный, причём каждое положительное число может участвовать не более чем в двух таких произведениях. Следовательно, отрицательных чисел не более 66. Но тогда всего чисел не более 99. Противоречие.
  Пример для 34 положительных чисел. Расставим знаки следующим образом:

(сначала +, потом 33 группы + – –, считая против часовой стрелки). Тут одна пара соседних положительных чисел и 33 пары соседних отрицательных – они и дадут 34 положительных произведения; остальные произведения будут отрицательными.

Ответ

34 числа.

Источники и прецеденты использования