Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $A_2$ – точка касания вписанной окружности треугольника $AB_1C_1$ со стороной $B_1C_1$; аналогично определяются точки $B_2$, $C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

   Решение

Темы:    [ Пирамида (прочее) ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Можно ли расставить на ребрах 5-угольной пирамиды стрелки, так что сумма всех образовавшихся 10 векторов была бы равна 0.

Подсказка

Спроектируйте векторы на прямую, перпендикулярную основанию пирамиды.

Решение

Спроектируем векторы на прямую, перпендикулярную основанию пирамиды и рассмотрим сумму проекций векторов. Вклад векторов, принадлежащих основанию пирамиды, равен 0. Каждый вектор, идущий вдоль боковой стороны, проектируется в вектор длины h, где h - высота пирамиды. Однако сумма пяти коллинеарных векторов длины h не может равняться нулевому вектору, поскольку 5 - нечетное число (длина суммы этих пяти векторов равна kh, где k - нечетное число).

Источники и прецеденты использования