Биссектрисы BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O.
Докажите, что если  OD = OE,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине A равен 60°.

   Решение

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Пятиугольники ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого пятиугольника расположены две точки. Докажите, что можно выбрать четырехугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что в него попадут обе выбранные точки.

Подсказка

Прямая, проходящая через две данные точки, пересекает две стороны пятиугольника.

Решение

Проведем прямую через две данные точки. В одной из полуплоскостей от этой прямой лежит по крайней мере три вершины A, B, C пятиугольника. Отрежем от пятиугольника треугольник с вершинами в этих в точках A, B, C. Получаем, что две данные точки лежат в оставшемся четырехугольнике. Это и требовалось в задаче.

Источники и прецеденты использования