Задача 97839

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

Биссектрисы BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O.
Докажите, что если  OD = OE,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине A равен 60°.

Решение

В треугольниках ADO и AEO равны две стороны и угол. Поэтому они либо равны, либо  ∠ADO + ∠AEO = 180°.  В первом случае треугольник равнобедренный в силу симметрии картинки относительно прямой AO. Во втором случае  ∠A + ∠DOE = 180°.  Угол DOE между биссектрисами BD и CE равен  90° + ½ ∠A  (см. задачу 55448). Отсюда и находим угол A.

Замечания

1. Обратное утверждение см. в задаче 52393.

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1984/1985
Номер	6
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	1
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1984/1985
Номер	6
вариант
Вариант	осенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	1
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1985
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М901