Информация о задаче

Задача 55448

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Вневписанные окружности	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из центра O вписанной окружности под углом 90^o + $\angle$ A/2, а из центра O₁ вневписанной окружности, касающейся стороны BC, - под углом 90^o - $\angle$ A/2.

Подсказка

Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника, а центр вневписанной окружности - точка пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника.

Решение

Поскольку O - точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то

$\displaystyle \angle$ BOC = 180^o - $\displaystyle \angle$ OBC - $\displaystyle \angle$ OCB = 180^o - $\displaystyle \angle$ B/2 - $\displaystyle \angle$ C/2 =

= 180^o - ( $\displaystyle \angle$ B + $\displaystyle \angle$ C)/2 = 180^o - (180^o - $\displaystyle \angle$ A)/2 = 90^o + $\displaystyle \angle$ A/2.

Поскольку BO₁ и CO₁ - биссектрисы внешних углов треугольника ABC, то $\angle$ OBO₁ = $\angle$ OCO₁ = 90^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ BO₁C = 180^o - $\displaystyle \angle$ BOC = 180^o - (90^o + $\displaystyle \angle$ A/2) = 90^o - $\displaystyle \angle$ A/2.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4770