а) В конструкции на рисунке переложите две спички так, чтобы получилось пять равных квадратов.
б) Из новой фигуры уберите 3 спички так, чтобы осталось только 3 квадрата.

   Решение

Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенство:   + ... + ≥ .
Значения переменных считаются положительными.

Подсказка

Рассмотрите функции  f_k(x) = a_kx² – 2b_kx  и примените задачу 61400.

Решение 1

Заметим, что максимум функции вида  f(x) = 2bx – ax²  достигается в точке ^b/_a и равен ^b²/_a. Рассмотрим функции  f_k(x) = 2b_kx – a_kx².  Очевидно, что
max (f₁(x) + ... + f_n(x)) ≤ max f₁(x) + ... + max f_n(x),  что в точности совпадает с доказываемым неравенством.

Решение 2

Это неравенство получается из неравенства Коши – Буняковского (см. задачу 61402) подстановкой  

Источники и прецеденты использования