Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
Решение
|
|
 |
Условие
По заданной последовательности положительных чисел q1,..., qn, ... строится последовательность многочленов следующим образом:
f0(x) = 1,
f1(x) = x,
...
fn+1(x) = (1 + qn)xfn(x) – qnfn–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и
1.
Решение
Докажем индукцией по n, что если |x| > 1, то | fn+1(x)| > |fn(x)|. При n = 0 это очевидно.
Шаг индукции. Если |x| > 1, то
| fn+1(x)| ≥ (1 + qn)|xfn(x)| – qn|fn–1(x)| > (1 + qn)| fn(x)| – qn|fn–1(x)| > | fn(x)|.
Таким образом, если |x| > 1, то | fn(x)| > 1, поэтому fn(x) ≠ 0.
