Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (см. рис.).

Доказать, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но её вершины не должны лежать на отрезках, а стороны – проходить через вершины фигуры.

   Решение

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K так, что  AB = CK.  Точки N и M – середины отрезков AK и BC соответственно. Отрезки NM и CK пересекаются в точке P. Докажите, что  KN = KP.

Решение

Пусть L – середина отрезка BK. Тогда ML – средняя линия треугольника BCK, то есть  ML || CK  и  ML = ½ CK = ½ AB = LN.  Следовательно, треугольник MLN равнобедренный. Из параллельности прямых ML и PK следует, что треугольник PKN подобен треугольнику MLN, значит, и он равнобедренный.

Замечания

Можно также отложить на продолжении стороны AB за точку A отрезок  AQ = BK  и использовать равнобедренный треугольник QKC и то, что MN – средняя линия треугольника QCB.

Источники и прецеденты использования