ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78261
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Ломаные ]
Сложность: 3+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (см. рис.).

Доказать, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но её вершины не должны лежать на отрезках, а стороны – проходить через вершины фигуры.


Решение

Данная фигура разбивает плоскость на шесть областей; среди них пять ограниченных и одна бесконечная. Только две из них имеют чётное число граничных отрезков, а оставшиеся четыре – нечётное. Если ломаная не начинается и не заканчивается в области, то она пересекает её границу чётное число раз. А значит, не может существовать более двух областей, границу которых она пересекает нечётное число раз. Поскольку каждый отрезок она должна пересекать ровно один раз, а областей с нечётным числом отрезков на границе четыре, то ломаной, удовлетворяющей условию, не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .